inetegral

Pengertian
INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :

ò f(x) dx = F(x) + c Þ (c = konstanta)

Integral dapat digolongkan atas :
A. Integral tak tentu  (Tanpa batas)B. Integral tertentu    (Dengan batas)

A.integral tak tentu

1. RUMUSFUNGSI ALJABAR ò xⁿ dx = ¹/_n+1 xⁿ⁺¹ + c ; n ¹ -1

FUNGSI TRIGONOMETRIò sin x dx  = - cos x + c
ò cos x dx = sin x + c 
sifat-sifat:
a. ò c f(x) dx = c ò f(x) dxb. ò ( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
c. jika    ò f(x) dx = F(x) + c
   maka  ò f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
             ò f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c

Perluasan :ò (ax + b)ⁿ dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)ⁿ⁺¹ + c
ò sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
ò cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
CARA MENGINTEGRIR
a. SUBSTITUSI

     I = ò f(x) dx
     substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
     I = ò f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
                          
1. Bentuk Ö a² - x²
    misalkan x = a sin q ® q = arc sin x/a
                  dx = a cos q dq

                                            
    ò Ö a2 - x2 dx = a ò Ö 1 - sin²q (a cos q dq)
= a² ò cos²q dq
= ½a² ò (1 + cos²q) dq
= ½a² (q + sinq cosq) + c 
                                                               
= ½a² ò [arc sin x + x Öa² - x² ] + c
                                          a    a      a
                                                                             ò Ö a² - x² dx = ½ a² arc sin x/a + ½ x Ö a² - x² + c
                              
2. Bentuk ò Öa² + b²x²
    Gunakan substitusi : x = a/b tgq
                                   dx = a/b sec²q dq
                              3. Bentuk ò Öb^2x2 - a²
    Gunakan substitusi : x = a/b secq
                                   dx = a/b tgq sec²q 
      
c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasilperkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yanglain.

                   I  = ò f(x) g(x) dx
Misalkan :  u = f(x)        ; dv = g(x) dx
                 du = ..... dx   ;   v = ò g(x) dx = ..... maka :

                   ò u du = u v - ò v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk  ò v du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI 




B. Integral tentu

1. Pengertian
Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a                   aò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b                   b
2. Sifat
           b                   ba.     ò c dx = c(x) ï = c(b - c)                 c = konstanta 
           a                   a
           b                  ab.     ò f(x) dx = - ò f(x) dx                      c = batas ditukar 
           a                   b
           ac.     ò f(x) dx =  0                                  c = batas sama 
           a
           b               a                bd.     ò f(x) dx = ò f(x) dx  + ò f(x) dx       c = ( a < c < b)